Fizik an Kreyòl, Matematik pou Fizik

Eskalè ak vektè

Pou yo ka byen defini grandè fizik yo yo bezwen:

  • oubyen nonb ki eksprime valè mezi yo; yo rele yo grandè eskalè.
  • oubyen, nonsèlman valè mezi yo, men tou oryantasyon yo, sa vle di direksyon ak sans grandè fizik sa a ap egzèse aksyon li; yo rele yo grandè vektoryèl. Yo itilize yon bagay nou jwenn nan Matematik yo rele vektè (vektè polè oubyen vrè vektè)pou reprezante grandè sa yo.
  • konsa tou gen grandè nonsèlman ou dwe konnen nonb ki eksprime mezi a, men ou konn bezwen konnen egzistans yon aks ak yon sans wotasyon awolon aks sa a. Grandè sa yo rele grandè aksyal. Yo reprezante grandè sa yo ak yon vektè yo rele vektè aksyal (yo rele yo fo vektè tou).

Eskalè

Yon eskalè se yon nonb reyèl, sa vle di yon eleman nan ansanm \mathbb{R}. Eskalè a reprezante yon grandè fizik lè li akonpanye ak yon inite.Eskalè yo obeyi anba lwa operasyon aljèb nou abitye yo, tankou: adisyon, soustraksyon, miltiplikasyon ak divizyon. Ki jan yo travay ak eskalè mezi? Syantifik yo tabli yon seri règ lojik ki pou gouvène ki jan y ap kominike enfòmasyon ant yo menm. Pou yon moun fè yo mezi, li dwe fikse dabò sa yo rele yon inite. Kèlkeswa, mezi a l ap reprezante ak yon nonb plis plis yon inite. Egzanp: Distans ki genyen ant Pòtoprens ak Jakmèl se 47 kilomèt (km). Sa ki konn parèt konplike nan Fizik, se ki jan n ap jere gwo gwo nonb yo oubyen ti nonb piti piti yo ak ki jan pou yo eksprime presizyon yon mezi. Pwoblèm ekriti gwo gwo nonb yo oubyen nonb piti piti yo rezoud lè nou itilize sa yo rele notasyon syantifik la. Si nou t a gen pou n ekri yon nonb ki long anpil plizyè fwa, sètènman nou t a renmen jwenn yon jan ki pi kout pou n ekri l. Enben notasyon syantifik la pèmèt nou fè sa. Li reprezante nonb la tankou miltiplikasyon yon nonb ki egal ak 1 oubyen pi gwo pase 1 men ki pi piti pase 10 (nonb sa a rele mantis) ak yon pisans 10 (ekspozan).

3 000 000 000 000 000 000 000 000=3 \times 10^{24}

Nou ka di:

\mbox{nonb}=\mbox{mantis} \times 10^{\mbox{ekspozan}}

Yon lòt gwo avantaj notasyon syantifik la bay se paske li fasilite nou fè miltiplikasyon ak divizyon gwo gwo nonb yo: pou miltiplikasyon an n ap annik miltipliye mantis de nonb yo epi nou plis de ekspozan yo; pou divizyon an n ap annik divize mantis yo epi nou fè soustraksyon ekspozan anwo a ak sa ki anba a:

(7 \times 10^{12})\times (4 \times 10^{13})=[(7 \times 4 )\times 10^{(12+13)}]=28\times 10^{25}

\dfrac{7 \times 10^{12}}{4 \times 10^5}=\dfrac{7 }{4 }\times 10^{(12-5)}

\dfrac{ 7 \times 10^{12}}{4 \times 10^5}=1.75 \times 10^7

Gen yon konvansyon ki vle pou se yon sèl chif ki devan vigil (oubyen pwen) desimal mantis la. Donk, nan premye kalkil la, nou dwe korije rezilta a epi ajiste ekspozan an pou n bay rezilta a ak notasyon syantifik kòrèk:

(3.5 \times 10^{12})\times (4 \times 10^{13})=14\times 10^{25}

Donk,

(3.5 \times 10^{12})\times (4 \times 10^{13})=1.4 \times 10^{26}

Pou leve yon nonb ki an notasyon syantifik a nenpòt ki pisans w ap annik leve mantis la nan pisans yo bay la epi w ap miltipliye ekspozan an ak pisans la. Nan egzanp nou pral bay la a; nou pral eseye fè dekabès, kale je w:

\sqrt{(3.61 \times 10^4)^3} = \sqrt{3.61^3} \times 10^{(4 \times 3)}
\sqrt{(3.61 \times 10^4)^3}=(47.04\times 10^{12})^\frac{1}{2}

\sqrt{(3.61 \times 10^4)^3}=\sqrt{47.04} \times 10^{\frac{12}{2}}

\sqrt{(3.61 \times 10^4)^3}=6.86 \times 10^6

Istwa: Mwen t ap fè yon kou sinematik nan yon lekòl. Lè egzamen prèske rive mwen al nan yon liv mwen chwazi kèk egzèsis m wè ki alapòte etidyan yo mwen ba yo pou yo prepare. Plizyè nan egzèsis yo se pa egzèsis m te gentan fè mwen menm. Yon jou swa, mwen rale fèy la m tonbe fè egzèsis yo, paske yon pwofesè ki respekte tèt li pa ka bay fè egzèsis epi li menm li pa fè yo tou. Gen yon egzèsis m kòmanse fè depi a 9h00 nan aswè li 2h00 nan maten m poko ka fini. Poutan tout demach mwen kòrèk. M pase tout tan sa a ap refè egzèsis la ak plizyè metòd diferan, m toujou jwenn menm repons la. Mezanmi, sa nou kwè? Kalkilatris m t ap travay la te sou radyan m pa janm wè sa.

Eksperyans sa a te aprann mwen pou m pa toujou konte sou kalkilatris pou m fè nenpòt ti kalkil e si m ap itilize kalkilatris fòk mwen gentan bay tèt mwen yo entèval rezilta a ka ye. Paske nou ka konprann la a, si m pa t gen repons la m t ap bwè pwa. Donk, li enpòtan pou konn notasyon syantifik la e konn fè kalkil byen ak li.

Chif siyifikatif

M pa wè ki jan pou m kòmanse pati sa a pou m pa bay ti istwa sa a:

Istwa : Lè m te nan premye ane inivèsite m te gen yon pwofesè chimi ki se yon vyetnamyen ki pa t konn anyen nan Matematik. Se yon nonm si l genyen \frac{3\times 5}{3+7} k ap senplifye pou l jwenn \frac{5}{7}. Msye bay liv referans kou a e tout moun gen aksè ak liv la. Se nan liv sa a m travay ak kanmarad mwen. Nou toujou jwenn rezilta yo, menm si rezilta sa yo pa toujou egzakteman sa liv la bay kòm repons la. Men yo bon. (Si liv la bay V=1.624 L, m ka jwenn V=1.622 L oubyen V=1.626 L, oubyen V=1.62 L). Men m pa t janm fè bèl nòt nan chimi ak pwofesè sa a. Rezon an se paske depi l wè rezilta a pa egzakteman jan l ye nan liv la (V=1.624 L), pou li menm li pa bon.

Ou ka petèt poko konprann pou ki sa sa te konn rive. Enben gen de rezon pou sa : (1) nan premye chapit liv la yo trete yon nosyon ki se chif siyifikatif. M pa t bay chapit sa a enpòtans, m te pase sou li. (2) pwofesè a li menm tou li pa t konn pou ki sa te gen diferans sa a nan rezilta a tou. Lè yo di, pa egzanp, kantite atòm ki genyen nan kò yon moun mwayen se 7 \times 10^{27}, se yon fason pou n di nou konnen li anviwon 6.5 \times 10^{27} men pi piti pase 7.5 \times 10^{27}. Poutan, si n t a ekri 7.0 \times 10^{27}, sa t ap vle di nou konnen vrè nonb la yon kote nan mitan 6.95 \times 10^{27} ak 7.05 \times 10^{27}. Kidonk, 7.0 \times 10^{27} la gen plis presizyon pase 7 \times 10^{27}. Jeneralman, kantite chif ou mete nan mantis la fè konnen ak ki presizyon ou bezwen konnen l.

Plis ou mete chif nan mantis la se plis nivo presizyon an ap ogmante. Kantite chif ki genyen nan mantis la rele chif siyifikatif. Gen plizyè règ ki kontwole zafè chif siyifikatif sa a:

1. Kantite chif siyifikatif yo se kantite chif nou konnen yo sou yon baz fyab. Tankou 3.14 gen 3 chif siyifikatif, 3.5 gen de chif siyifikatif.

2. Si w bay yon nonb kòmkwa li se yon antye, enben ou bay li ak yon presizyon enfini. Kidonk, si yon moun di li gen 5 mango, sa vle di 5 mango egzakteman, pa plis pa mwens.

3. Yo kòmanse konte chif siyifikatif yo agoch depi nan premye chif ki pa 0 a.

4. Zewo nan kòmansman yo pa konte kòm chif siyifikatif. Kidonk, 3.14 ak 0.00000314 gen menm kantite chif siyifikatif, 3.

5. Zewo ki vin aprè yo konte pou chif siyifikatif. Lè w ekri anpil zewo dèyè yon nonb, sa t a vle di nonb sa a gen anpil presizyon. 3.1416000 genyen 8 chif siyifikatif.

6. Kantite chif siyifikatif yon nonb ki ekri an notasyon syantifik se kantite chif ki gen nan mantis li. Gwosè ekspozan an pa enfliyanse chif siyifikatif yo. Kidonk, 3.14 \times 10^{-11} genyen 3 chif siyifikatif menm jan ak 3.14.

7. Ou p ap janm ka gen plis chif siyifikatif nan yo rezilta pase sa ki nan faktè ki bay li yo, ni nan yon miltiplikasyon ni nan yon divizyon. Kidonk, \dfrac{1.23}{3.4461} pa egal ak 0.3569252. Kalkilatris ou mèt ba ou repons sa a, li pa kòrèk paske kalkilatris la pa ka bay bon kantite chif siyifikatif la otomatikman. Nòmalman, \dfrac{1.23}{3.4461} =0.357. Ou dwe awondi rezilta kalkilatris la ak kantite chif siyifikatif kòrèk la. Nan pa nou an, kantite chif siyifikatif la egal ak 3 ki se kantite chif siyifikatif nimeratè a. Nou ka konprann nan yon miltiplikasyon ak yon divizyon, repons la dwe genyen menm kantite chif siyifikatif ak faktè ki gen mwens presizyon an.

8. Lè w ap fè adisyon oubyen soustraksyon ak plizyè nonb, kantite desimal ki nan rezilta a dwe egal ak kantite desimal ki nan nonb ki gen pi piti desimal la. 1.23+3.4461=4.68 men pa 4.6761 jan w t a panse a. Kidonk, nan adisyon ak soustraksyon, repons la dwe genyen menm kantite chif adwat vigil desimal la ak nonb nan adisyon oubyen soustraksyon an ki gen pi piti chif adwat vigil desimal pa l la.Règ sa a, li menm, mande anpil prekosyon lè w ap aplike l. Sitou nan soustraksyon, li ka fè n pèdi nan presizyon rezilta a.

N.B.- Pafwa gen ka kote se eksperyans ak bon sans ou ki pou mete w deyò:

1. Pa egzanp, lè w pran yon nonb tankou 10500. Ou a ekri l 1.05\times 10^4 oubyen 1.050\times 10^4 oubyen ankò 1.0500\times 10^4. Ki vin fè li ka genyen 3, 4 oubyen 5 chif siyifikatif.

2. Pafwa li konn pi bon pou ekri rezilta yon kalkil sou de fòm si fòm ki pi kòrèk la (notasyon syantifik, bon sistèm inite) pa bay okenn enfòmasyon enteresan menm si dezyèm ekriti a pa respekte notasyon syantifik la ak sistèm inite a.

Egzanp:

v=8.11 \times 10^1 \;m \cdot s^{-1} oubyen v=292 km\cdot h^{-1}

Apwoksimasyon pou ti ang piti yo.

Lè n annafè ak ti ang piti nou ka fè apwoksimasyon ki pou pèmèt nou senplifye kalkil nou yo.

Ang egi ki pi piti nan yon tryang rektang.
Yon ti ang \theta

Ann kondidere ti tryang ki anwo a kote ang \theta a eksprime an radian. Si ipoteniz la egal 1, jewometri desen an fè n wè longè ak la ki se 1\times \theta ak \sin \theta prèske se menm bagay. Konsa, nou vin jwenn \cos \theta ki toupre 1. Nan ka sa a, li vin parèt lojik pou n di \sin \theta egal ak \tan \theta .

Kidonk, pou ti ang piti yo, nou gen dwa poze :

\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta \qquad \cos \theta \approx 1. Apwoksimasyon sa yo jis vle di se sèlman premye tèm nan devlòpman anseri twa fonksyon sa yo sèlman yo konsidere. Pa egzanp, men yon konparezon pou apwoksimasyon sa yo pou yon ang ki egal ak 1^\circ:

1^\circ =0.017453\, rad

\tan 1^\circ=0.017455

\sin 1^\circ=0.017452

\cos 1^\circ=0.999 848

Si n swete fè yon kalkil ki pi fen, nou ka kenbe de premye tèm nan devlòpman anseri a, sa ki vin bay:

\sin\theta \approx \theta-\frac{\theta^3}{6}

\tan \theta \approx  \theta+\frac{\theta^3}{6}

\cos \theta  \approx 1-\frac{\theta^2}{6}

Kilè nou ka di \sin \theta \approx \theta ? Nou pa ka bay yon repons jeneral pou kesyon sa a. Sa pral depann ak ki degre presizyon w ap travay. Konsa, yon apwoksimasyon tankou \sin \theta vrè ak de chif siyifikatif lè \theta pi piti oubyen egal ak 16^\circ , men li vrè ak 3 chif siyifikatif lè \theta pi piti oubyen egal ak 7.82^\circ.

Fizik an Kreyòl

Entwodiksyon

Byenveni nan fizik! Petèt w ap pran yon kou fizik paske w ap byen pase nan yon disiplin syantifik oswa jeni ki egzije w pou pran kou fizik pandan youn oubyen de semès.

Petèt ou ka fèk kòmanse etidye medsin epi ou rann ou kont fakilte medsin yo ap enterese chak jou pi plis nan fizik aplike. Petèt ou ka reyèlman fè  plan pou vin yon vrè fizisyen. Oswa petèt ou vle etidye fizik pou ka konplete yon lòt disiplin tankou ekonomi, syans anviwònman, oswa menm mizik.

Petèt tou ou te ka gen yon bèl kou fizik nan lekòl segondè w epi ou ta renmen kontinye. Petèt fizik segondè a te yon dezas akademik pou ou, epi w ap apwoche kou sa a ak anpil enkyetid. Oswa petèt sa a se premye eksperyans ou ak fizik.

Kèlkeswa rezon ou genyen pou w pran Entwodiksyon fizik sa a, Byenveni!

Kèlkeswa sa ki rezon ou, objektif mwen pou ou pa chanje: Mwen ta renmen ede w devlope yon konpreyansyon ak yon apresyasyon pou inivè fizik la nan yon nivo ki wo  ak yon nivo fondamantal; mwen ta renmen w vin okouran de tout kalite gwo fenomèn natirèl e teknolojik fizik ka eksplike; e mwen ta renmen ede w fòtifye k
konpetans ou genyen pou rezoud egzèsis analitik ak egzèsis ki gen chif.

Menm si w ap etidye fizik sèlman paske yo egzije w sa, mwen vle ede w konprann sijè a e vin apresye syans fondamantal sa a ak tout lajè aplikasyon li genyen. Youn nan pi gwo jwa mwen kòm pwofesè fizik, se lè gen elèv, lè yo fin pran kou a, ki vin di m « yo te pran l selman paske yo te egzije yo pou yo pran l, men yo te vin reyèlman rejwi paske yo ekspoze ak ide fizik yo.

Fizik se yon bagay fondamantal. Konprann Fizik se konprann ki jan mond la fonksyone, ni nan lavi n ap mennen chak jou ni sou yon echèl tan ak espas tèlman piti oubyen tèlman gran ki rive defye entuisyon nou.

Pou rezon sa a, mwen espere ou pral twouve Fizik la enteresan. Men, ou pral wè tou gen defi ladann. Aprann Fizik pral mete nan konpetisyon pou bezwen jwenn lide ak langaj ki tonbe daplon; ak entèpretasyon sibtil pou menm fenomèn banal; epi ak nesesite pou w maton nan aplikasyon matematik.

Men Fizik gen yon senplisite ladan n tou, yon senplisite ki la paske nan Fizik se sèlman yon ti kras prensip ki vrèman se b-a ba matyè a ou gen pou aprann. Ti prensip tou kout sa yo anbrase yon pakèt gwo fenomèn natirèl ak aplikasyon nan teknoloji.


Se sou Fizik tout syans natirèl ak tout disiplin jeni chita. Tout gwo bagay nou wè k ap fèt nan teknoloji a, soti depi nan operasyon ak lazè rive sou televizyon, soti sou òdinatè rive sou frijidè, soti sou machin rive sou avyon, tout soti dirèkteman nan b-a ba Fizik la. Lè w gen yon bon lòsyè nan konsèp Fizik esansyèl yo, sa ba w yon baz solid kote w ka konstui yon konesans avanse nan nenpòt ki syans.


Fizik ak Matematik se Kòkòt ak Figawo paske li fè konsèp abstrè nou jwenn nan trigonometri, aljèb ak kalkil yo pran vi. Pou nou fè Fizik, nan nivo sa a, nou pral itilize de nosyon nan Matematik ki se eskalè ak vektè. Nan nivo ki pi wo nou ka bezwen lòt bagay tankou tòsè ak tansè. Anvan menm jou antre danble nan Fizik la, nou pral mete zouti sa yo nan men w pou w la defann ou.

Fizik an Kreyòl, Matematik pou Fizik

Aplikasyon lineyè

Ann pran f yon aplikasyon  E^3 nan E^3. f lineyè si:

\forall \vec{u},\vec{v} \in E^3, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, f(\lambda \,\vec{u}+\mu \,\vec{v})=\lambda f(\vec{u})+\mu f(\vec{v})

Matris yon aplikasyon lineyè

Yon matris se yon tablo ki gen fòm rektang

\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)

Yon di yon matris gen dimensyon n\times m lè li genyen n liy ak m kolonn.

Annou konsidere (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) yon baz òtonòme dirèk E^3 ak f yon aplikasyon lineyè E^3 nan E^3.

Ann pran  \vec{u}\in E^3, nou ka ekri:

\vec{u}=\displaystyle \sum_{i=1}^n u_i\vec{e}_i

Daprè lineyarite f, nou ka ekri:

f(\vec{u})=f(\displaystyle \sum_{i=1}^n u_i\vec{e}_i)=\sum_{i=1}^n u_i f(\vec{e}_i)

Konsa, pou n ka konnen yon aplikasyon lineyè f, nou sèlman bezwen konnen imaj chak vektè nan baz la atravè f.

Lè n note: f(\vec{e}_j)=\displaystyle \sum_{i=1}^3 a_{ij}\vec{e}_j, nou ka ekri relasyon nou sot jwenn la a sou fòm matris pou n ka jwenn matris-kolonn f(\vec{u}) a sou baz (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) la:

[f(\vec{u})]= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{array} \right) \qquad [f(\vec{u})]= [A]\vec{u}.

Matris A ki asosye ak f la se matris ki gen kolonn li yo ki se kowòdone imaj \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 atravè f nan baz (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) la.

Kèk pwopryete yon matris

Matris ki gen n liy ak p kolonn nan yon kò \mathbb{K} : \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K}):

  • Matris kare: Se tout eleman nan \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K})  kote  n=p  ( \boldmath{M}_{nn}(\mathbb{K}) )
  • Notasyon:\boldmath{M}_{n}(\mathbb{K})
  • M=(a_{ij})\in \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K}),N=(b_{ij})\in \boldmath{M}_{pm}(\mathbb{K})
  • M\cdot N=(c_{ij})\in \boldmath{M}_{nm}(\mathbb{K}) / c_{ij}=\displaystyle \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}
  • Tras M \in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}): \displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii}
  • M \in \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K}), {}^t M \in \boldmath{M}_{pn}(\mathbb{K}).

Kalkil detèminan yon matris

Detèminan: se yon reyèl ou jwenn apati kèk operasyon espesyal sou eleman nan yon matris kare.

N ap evite definisyon fòmèl detèminan an ki itilize nosyon pèmitasyon. N ap pale sou kijan yo fè kalkil detèminan an.

  • M \in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), n>1
  • Matris minè (asosye ak a_{ij}):M_{ij}\in \boldmath{M}_{n-1}(\mathbb{K})

Se matris ou jwen lè w elimine i^{yem} liy nan ak j^{yem} kolonn nan yon matris.

  • Minè (asosye ak a_{ij}):\det(M_{ij})

Se detèminan matris minè a.

  • Kofaktè(asosye ak a_{ij}\in M):c_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})
  • \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}
  • \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}
  • \det({}^t M)=\det(M)

Kalkile envès yon matris kare.

  • Komatris M: co(M)=(c_{ij})
  • M\in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), \det(M)\neq 0 : M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}{}^t co(M)
  • M\in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), M\cdot M^{-1}=I_n:matris idantite òd n.
  • M\cdot I_n=I_n \cdot M=M
  • M\in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), \det(M)\neq 0:\det(M^{-1})=[\det(M)]^{-1}

Valè pwòp

Yon vektè \vec{u} nan E^3 ki pa egal ak vektè \vec{0} se yon vektè pwòp pou aplikasyon f la si gen yon \lambda ki egziste ki fè :

f(\vec{u})=\lambda\vec{u}

\lambda se yon valè pwòp ki asosye ak \vec{u}.

Pou n ka jwenn valè pwòp yon aplikasyon lineyè, n ap annik rezoud f (\vec{u}) - \lambda\vec{u} = \vec{0} ak \vec{u}\neq \vec{0}.

Sa ki pa ka reyalize ak (u_1, u_2, u_3 )\neq(0,0,0)  sèlman lè n fè detèminan sistèm sa a egal ak zewo, sa vle di lè n anile polinòm karakteristik aplikasyon f la:

\det(A-\lambda Id_E)=0

sa nou ka ekri sou fòm matris konsa :

\left| \begin{array}{ccc} a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array} \right|=0

Aplikasyon simetrik ak aplikasyon antisimetrik

Ann pran yon aplikasyon h  E^3 nan E^3.

  • si \forall \vec{u}, \vec{v} \in E^3 \vec{u}\cdot h(\vec{v})=\vec{v}\cdot h(\vec{u}) h simetrik.
  • si \forall \vec{u}, \vec{v} \in E^3 \vec{u}\cdot h(\vec{v})=-\vec{v}\cdot h(\vec{u}) h antisimetrik.

Pwopryete: Yon aplikasyon lineyè simetrik oubyen antisimetrik oblije lineyè.

Pwopryete aplikasyon lineyè simetrik yo

  • h_s se yon aplikasyon lineyè simetrik  E^3 nan E^3
  • A_s: matris h_s nan yon BOND (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)
  • A_s simetrik (A_s={}^t A_s)
  • Valè pwòp A_S yo se reyèl.
  • Genyen omwens yon baz òtonòme h_s ki fòme sèlman ak vektè pwòp. Nan baz sa a, matris h_s la se yon matris dyagonal .
  • \forall \vec{u} \in E^3, \vec{u}\cdot h(\vec{u})>0\Longrightarrow valè pwòp pozitif.

Lè n ap chache valè ak vektè pwòp yon aplikasyon lineyè epi n eksprime matris nan yon baz pwòp (sa vle di yon baz ki fèt ak vektè pwòp), lè sa a nou di n ap dyagonalize operatè a.

Pwopryete aplikasyon lineyè antisimetrik yo

  • h_a aplikasyon lineyè antisimetrik E^3 nan E^3
  • A_a: matris h_s nan yon BOND (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)
  • A_a antisimetrik (A_s=-{}^t A_s)
  • \forall i,\vec{e}_i\cdot h_a(\vec{e}_i)=-\vec{e}_i\cdot h_a(\vec{e}_i) kidonk a_{ii}=0
  • \forall i,j ,\vec{e}_j\cdot h_a(\vec{e}_i)=-\vec{e}_i\cdot h_a(\vec{e}_j) kidonk a_{ij}=-a_{ji}
  • \forall \vec{u}\in E^3,[h_a(u)]=A_a(u)=\vec{R}\wedge \vec{u}
Fizik an Kreyòl, Matematik pou Fizik

Operasyon sou vektè yo

Egalite de vektè

Si n gen de vektè \vec{u} ak \vec{v} ki gen \Delta ak \Delta' kòm sipò.

20190517_073546

Yo ekri sa konsa:
(\Delta, \stackrel{\rightarrow}{u}) ak (\Delta',\stackrel{\rightarrow}{v})
N ap di \vec{u} egal ak \vec{v} (\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{v}) ssi:

  • \Delta //\Delta' (vektè sa yo p ap janm kontre
  • \vec{u} gen menm sans ak \vec{v}
  • ||\stackrel{\rightarrow}{u}||=||\stackrel{\rightarrow}{v}|| (vektè yo gen menm longè).

Miltiplikasyon yon vektè ak yon eskalè

Si n gen yon eskalè k\neq 0 ak yon vektè \vec{v}\neq \vec{0}, pwodui k\vec{} a se vektè ki gen pou:

  • longè pwodui longè vektè \vec{v} a ak valè absoli k.
  • direksyon direksyon vektè \vec{v} a.
  • sans menm sans ak \vec{v} a si k> 0 oubyen sans opoze ak \vec{v} a si k<0.
  • Si k=0 oubyen \vec{v}=\vec{0}, k\vec{v}=\vec{0}.

vekte5

Adisyon de oubyen plizyè vektè (Vektè ki gen menm orijin ak vektè paralèl)

Si vektè yo gen menm sans, vektè ki se adisyon yo a gen menm sipò ak menm sans ak vektè n ap adisyone yo. Longè li ap egal longè ou jwenn lè w mete de vektè yo youn dèyè lòt.

Si sans vektè yo opoze youn ak lòt, vektè ki se adisyon yo a gen menm sipò ak yo, li gen menm sans ak sa ki pi long nan, longè li ap egal ak soustraksyon longè de lòt vektè yo.
Nan ka kote vektè yo pa gen menm orijin epi yo paralèl, n ap fè yon jan pou yo la gen menm orijin epi n ap aplike règ sa a nou sot wè la a.

Adisyon de oubyen plizyè vektè (metòd tryang la)

Pou fè adisyon de vektè \vec{u} ak \vec{v} ou ka kole (a)orijin dezyèm nan ak ekstremite premye a oubyen (b) orijin premye a ak ekstremite dezyèm nan. Vektè ki se rezilta operasyon sa a pote non reziltant.20190517_072820Vektè ki se adisyon \vec{u} ak \vec{v} a se vektè ki gen pou orijin orijin premye a ak ekstremite ekstremite dezyèm nan, oubyen se vektè ki gen pou pou orijin orijin dezyèm nan ak pou ekstremite ekstremite premye a.
Se pou n remake nan tou de ka yo vektè yo rete paralèl ak yo menm. Menm bagay la pou reziltant yo.

Adisyon de oubyen plizyè vektè (metòd poligòn)

Pou de vektè, metòd poligòn nan pote non metòd paralelogram:
Pou n fè adisyon de vektè \vec{u} ak \vec{v} n ap chwazi yon pwen nan plan an, n ap fè translation vektè yo yon fason pou orijin yo vin tonbe nan menm pwen an, pwen n te chwazi a. Apre sa, nou prale nan ekstremite \vec{u} n ap trase yon vektè ki ekipolan ak \vec{v} epi nou prale nan ekstremite \vec{v} n ap trase yon vektè ki ekipolan ak \vec{u}. Apre de operasyon sa yo, nou vin gen yon paralelogram.

20190517_073000

Reziltant la se vektè nou jwenn lè n trase soti nan pwen ki se orijin de vektè yo pou bout nan pwen kote de vektè ekipolan yo rankontre a, vektè sa a se dyagonal prensipal paralelogram nan.

Nou ka jeneralize pou n di, adisyon plizyè vektè se vektè ki gen pou orijin orijin premye vektè a epi ki gen pou ekstremite ekstremite dènye vektè a.

20190517_124001

Soustraksyon de vektè

Soustraksyon de vektè \vec{u} ak \vec{v} se vektè nou jwenn lè n fè adisyon vektè \vec{u} ak opoze vektè \vec{v} a (ki se -\vec{v}). Oubyen \vec{u}-\vec{v} se vektè nou dwe adisyone ak vektè \vec{v} pou n jwenn vektè \vec{u} a.
Si n poze \vec{u}=\overrightarrow{AB} ak \vec{v}=\overrightarrow{CD}, n ap genyen:

20190517_073115

Adisyon de oubyen plizyè vektè (metòd aljebrik)

Nou ka asosye plan \mathbb{R}^2 ak yon repè \mathcal{R}. Si n chwazi vektè \vec{i} ak vektè \vec{j} pou vektè baz \mathbb{R}^2, nenpòt vektè nan plan an ka ekri tankou adisyon vektè konpozant yo.

20190517_103649

  • \stackrel{\rightarrow}{A}=\stackrel{\rightarrow}{A}_x+\stackrel{\rightarrow}{A}_y=A_x\stackrel{\rightarrow}{i}+A_y\stackrel{\rightarrow}{j}
  • A_x=||\stackrel{\rightarrow}{A}||\cos \theta, A_y=||\stackrel{\rightarrow}{A}||\sin \theta ak \theta=\tan^{-1}\frac{A_y}{A_x}

Adisyon de oubyen plizyè vektè (metòd aljebrik)

20190517_103748

  • \stackrel{\rightarrow}{C}=\stackrel{\rightarrow}{C}_x+\stackrel{\rightarrow}{C}_y=C_x\stackrel{\rightarrow}{i}+C_y\stackrel{\rightarrow}{j}
  • C_x=A_x+B_x  ak  C_y=A_y+B_y  kote A_x=||\stackrel{\rightarrow}{A}||\cos \theta_AB_x=||\stackrel{\rightarrow}{B}||\cos \theta_B  epi  A_y=||\stackrel{\rightarrow}{A}||\sin \theta_A, B_y=||\stackrel{\rightarrow}{B}||\sin \theta_B
  • \theta_C=\tan^{-1}\frac{C_y}{C_x}  ak  C_x=||\stackrel{\rightarrow}{C}||\cos \theta_CC_y=||\stackrel{\rightarrow}{C}||\sin \theta_C

Adisyon sa yo se adisyon aljebrik.

Konposant katezyen nan lespas

20190518_200941

  • F_x=||\vec{F}||\cos\theta_x; F_y=||\vec{F}||\cos\theta_y; F_z=||\vec{F}||\cos\theta_z
  • \vec{F}=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}

20190518_201109

  • \vec{F}=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}
  • \vec{F}=||\vec{F}||(\cos\theta_x\vec{i}+\cos\theta_y\vec{j}+\cos\theta_z\vec{k})=||\vec{F}||\vec{\lambda}
  • ||\vec{\lambda}||=1

Pwodui eskalè a nan baz òtonòme dirèk

Pou yon BOND:(\stackrel{\rightarrow}{e}_i)_{i\in \left[1,n\right]}

  • (\stackrel{\rightarrow}{U},\stackrel{\rightarrow}{V})\in E^2, \stackrel{\rightarrow}{U}=u_i\stackrel{\rightarrow}{e}_i ak \stackrel{\rightarrow}{V}=v_i\stackrel{\rightarrow}{e}_i
  • \stackrel{\rightarrow}{U}\cdot \stackrel{\rightarrow}{V}= \displaystyle \sum_{i=1}^n\,u_iv_i=u_1v_1+u_2v_2+\cdots +u_nv_n

Ekspresyon analitik yon pwodui eskalè

Nan yon repè òtonòme Oxyz, nou genyen:

  • \stackrel{\rightarrow}{a}=(a_x,a_y,a_z), \stackrel{\rightarrow}{b}=(b_x,b_y,b_z)
  • \stackrel{\rightarrow}{a}\cdot \stackrel{\rightarrow}{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z

Reprezantasyon jewometrik yon pwodui eskalè

Si n gen de vektè \stackrel{\rightarrow}{a} ak \stackrel{\rightarrow}{b} ki pa gen menm direksyon e ki gen menm orijin, nou ka chwazi yon repè kote x pèpandikilè a direktion \stackrel{\rightarrow}{b} epi y paralèl ak direksyon \stackrel{\rightarrow}{b}. Nou ka dekonpoze \stackrel{\rightarrow}{a} suivan x ak suivan y jan nou wè nan desen ki anba a.

20190518_201201

  • \stackrel{\rightarrow}{a}=\stackrel{\rightarrow}{a}_{//}+\stackrel{\rightarrow}{a}_\bot \Longrightarrow \stackrel{\rightarrow}{a}={a}_{//}\vec{i}+{a}_\bot \vec{j}+0\vec{k}=||\stackrel{\rightarrow}{a}||\sin \theta\vec{i}+||\stackrel{\rightarrow}{a}||\cos \theta\vec{j}+0\vec{k}
  • \stackrel{\rightarrow}{b}=||\stackrel{\rightarrow}{b}||\stackrel{\rightarrow}{j}=0\vec{i}+||\stackrel{\rightarrow}{b}||\stackrel{\rightarrow}{j}+0\vec{k}
  • \stackrel{\rightarrow}{a}\cdot \stackrel{\rightarrow}{b}=||\stackrel{\rightarrow}{a}||.||\stackrel{\rightarrow}{b}||\cos \theta

a_{//} rele vektè pwojeksyon \stackrel{\rightarrow}{a}  sou \stackrel{\rightarrow}{b}.

Pwojeksyon eskalè \stackrel{\rightarrow}{a} sou \stackrel{\rightarrow}{b} a yo rele l tou konpozant \stackrel{\rightarrow}{a} selon \stackrel{\rightarrow}{b} se nòm vektè pwojeksyon. Li egal ak \frac{\stackrel{\rightarrow}{a}\cdot \stackrel{\rightarrow}{b}}{||\stackrel{\rightarrow}{b}||}.

Vektè pwojeksyon \stackrel{\rightarrow}{a} sou \stackrel{\rightarrow}{b} a menm egal ak \left(\frac{\stackrel{\rightarrow}{a}\cdot \stackrel{\rightarrow}{b}}{||\stackrel{\rightarrow}{b}||}\right)\frac{\stackrel{\rightarrow}{b}}{||\stackrel{\rightarrow}{b}||}.

Pwodui eskalè a se yon grandè entrensèk, li pa depann de okenn baz.

Projeksyon sou yon aks

20190518_201309

(A,P)\in \mathcal{E}^2,\overrightarrow{AP}\in E

\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AP}_u+\overrightarrow{AP}_v
\overrightarrow{AP}=||\overrightarrow{AP}_u||\stackrel{\rightarrow}{u}+||\overrightarrow{AP}_v||\stackrel{\rightarrow}{v}

  • \overrightarrow{AP}=(\overrightarrow{AP}\cdot \stackrel{\rightarrow}{u})\stackrel{\rightarrow}{u}+(\overrightarrow{AP}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v})\stackrel{\rightarrow}{v}
  • \forall (\stackrel{\rightarrow}{u},\stackrel{\rightarrow}{v}) \in E^2, \stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v} \in \mathbb{R}
  • ||\stackrel{\rightarrow}{u}||\,||\stackrel{\rightarrow}{v}||\,\cos(\theta)=||\stackrel{\rightarrow}{u}||\,||\stackrel{\rightarrow}{v}||\,\cos(360^\circ-\theta)
  • \forall (\stackrel{\rightarrow}{u},\stackrel{\rightarrow}{v}) \in E \times E, \stackrel{\rightarrow}{u} \cdot \stackrel{\rightarrow}{v}=0 \Longleftrightarrow \stackrel{\rightarrow}{u}\bot \stackrel{\rightarrow}{v}
  • \forall \stackrel{\rightarrow}{u} \in E, \stackrel{\rightarrow}{u} \cdot \stackrel{\rightarrow}{u}=||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2

Yo defini kèk pwodui remakab sou espas vektoryèl la:

  1. (\stackrel{\rightarrow}{u}\pm\stackrel{\rightarrow}{v})^2=\stackrel{\rightarrow}{u}^2\pm 2\,\stackrel{\rightarrow}{u}\cdot \stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{v}^2
  2. \stackrel{\rightarrow}{u}^2-\stackrel{\rightarrow}{v}^2=(\stackrel{\rightarrow}{u}+\stackrel{\rightarrow}{v})(\stackrel{\rightarrow}{u}-\stackrel{\rightarrow}{v})
  3. (\stackrel{\rightarrow}{u},\stackrel{\rightarrow}{v})\in E^2, \stackrel{\rightarrow}{u}=(u_1,u_2,u_3) ak \stackrel{\rightarrow}{v}=(v_1,v_2,v_3) anan baz (\stackrel{\rightarrow}{e}_1,\stackrel{\rightarrow}{e}_2,\stackrel{\rightarrow}{e}_3)

Pwodui eksteryè

Notasyon pwodui eksteryè:

\stackrel{\rightarrow}{w}=\stackrel{\rightarrow}{u}\wedge \stackrel{\rightarrow}{v}=(u_2v_3-u_3v_2)\stackrel{\rightarrow}{i}+(u_3v_1-u_1v_3)\stackrel{\rightarrow}{j}+(u_1v_2-u_2v_1)\stackrel{\rightarrow}{k}

Nòmalman men ki jan sa fèt:

\left( \begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right)

  • [\stackrel{\rightarrow}{u},\stackrel{\rightarrow}{v},\stackrel{\rightarrow}{w}] gen menm oryantasyon ak (\stackrel{\rightarrow}{e}_1,\stackrel{\rightarrow}{e}_2,\stackrel{\rightarrow}{e}_3)
  • \stackrel{\rightarrow}{u},\stackrel{\rightarrow}{v}: vektè polè (\longrightarrow);
  • \stackrel{\rightarrow}{w}: vektè aksyal (\stackrel{\curvearrowbotright}{.})

Ekspresyon pwodui eksteryèl ak pwojeksyon

20190518_201357

  • ||\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}||=||\stackrel{\rightarrow}{a}||\cdot ||\stackrel{\rightarrow}{b}||\sin \theta
  • \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}=||\stackrel{\rightarrow}{a}||\cdot ||\stackrel{\rightarrow}{b}||\sin \theta \stackrel{\rightarrow}{n}
  • \stackrel{\rightarrow}{n}=\frac{\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}}{||\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}||}

Pwopryete pwodui eksteryè a

Paske n konnen pwodui vektoryèl la se yon aplikasyon antisimetrik e antikomitatif, n ap genyen:

  • \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}=-\stackrel{\rightarrow}{b}\wedge \stackrel{\rightarrow}{a}
  • \stackrel{\rightarrow}{a}//\stackrel{\rightarrow}{b}\Longrightarrow \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}=\stackrel{\rightarrow}{0}, (\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{a})=\stackrel{\rightarrow}{0}
  • \stackrel{\rightarrow}{a}\bot \stackrel{\rightarrow}{b}\Longrightarrow \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b} =||\stackrel{\rightarrow}{a}||\cdot ||\stackrel{\rightarrow}{b}||\stackrel{\rightarrow}{n}, (||\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}||=||\stackrel{\rightarrow}{a}||\cdot ||\stackrel{\rightarrow}{b}||)
  • \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge (\stackrel{\rightarrow}{b} + \stackrel{\rightarrow}{c})=\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}+\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{c}
  • \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}=\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}_{\bot} ak \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge (\stackrel{\rightarrow}{b} + \stackrel{\rightarrow}{c})=\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}+\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{c}_{\bot}
  • \lambda \stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b}=\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \lambda\stackrel{\rightarrow}{b}=\lambda(\stackrel{\rightarrow}{a}\wedge \stackrel{\rightarrow}{b})

Entèpretasyon jewometrik pwodui vektoryèl la.

20190518_201510

||\stackrel{\rightarrow}{U}\wedge \stackrel{\rightarrow}{V}|| se sifas paralelogram ki konstui apati \stackrel{\rightarrow}{U} ak \stackrel{\rightarrow}{V}

Kèk règ sou pwodui vektè yo

  • vrè vektè \cdot vrè vektè = vrè eskal
  • psedovektè \cdot psedovektè = vrè eskalè
  • psedovektè \cdot vrè vektè = psedoeskalè
  • vrè vektè \wedge vrè vektè = psedovektè
  • vrè vektè \wedge psedovektè = vrè vektè
  • psedovektè \wedge psedovektè = vrè eskalè

Pwodui miks

Yon pwodui miks se yon operasyon ki fèt sou twa (3) vektè ak de (2) kalite pwodui nou sot wè yo(pwodui eskalè ak pwodui vektoryèl oubyen pwodui ekteryè). Rezilta operasyon sa a se yon eskalè.

20190517_120336

Si (\stackrel{\rightarrow}{A},\stackrel{\rightarrow}{B},\stackrel{\rightarrow}{C})\in E,epi (\stackrel{\rightarrow}{e}_1,\stackrel{\rightarrow}{e}_2,\stackrel{\rightarrow}{e}_3) se yon baz espas vektoryèl E a. N ap genyen :

  • Notasyon pwodui miks: (\stackrel{\rightarrow}{A} \wedge \stackrel{\rightarrow}{B})\cdot \stackrel{\rightarrow}{C}
  • (\stackrel{\rightarrow}{A}\wedge \stackrel{\rightarrow}{B})\cdot \stackrel{\rightarrow}{C}=\left[\left(\begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{array} \right)\wedge \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{array} \right)\right]\cdot \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ c_3 \end{array} \right)=[\stackrel{\rightarrow}{A},\stackrel{\rightarrow}{B},\stackrel{\rightarrow}{C}]

Se detèminan matris ki fèt apati twa (3) vektè-kolonn yo.

(\stackrel{\rightarrow}{A} \wedge \stackrel{\rightarrow}{B})\cdot \stackrel{\rightarrow}{C}=(\stackrel{\rightarrow}{B} \wedge \stackrel{\rightarrow}{C})\cdot \stackrel{\rightarrow}{A}=(\stackrel{\rightarrow}{C} \wedge \stackrel{\rightarrow}{A})\cdot \stackrel{\rightarrow}{B}

Doub pwodui vektoryèl

Rezilta yon doub pwodui vektoryèl se yon vektè e vektè sa a se eleman espas oubyen anbaespas vektoryèl ki konstwi sou de dènye vektè yo, kidonk, rezilta yon doub pwodui vektoryèl ki fèt ak twa (3) vektè \stackrel{\rightarrow}{a},\stackrel{\rightarrow}{b},\stackrel{\rightarrow}{c} se konbinezon lineyè de (2) vektè \stackrel{\rightarrow}{b},\stackrel{\rightarrow}{c} yo.

20190517_120647

Se yon vektè ki òtogonal ak òtogonal espas oubyen anbaespas vektoryèl ki konstwi sou de dènye vektè yo.

  •                  Yo note l konsa: \stackrel{\rightarrow}{V}=\stackrel{\rightarrow}{A}\wedge (\stackrel{\rightarrow}{B}\wedge \stackrel{\rightarrow}{C})
  •                 \stackrel{\rightarrow}{V}=\lambda\stackrel{\rightarrow}{C}-\mu\stackrel{\rightarrow}{B}
  •                 \stackrel{\rightarrow}{V}=(\stackrel{\rightarrow}{C}\cdot \stackrel{\rightarrow}{A})\stackrel{\rightarrow}{B}(\stackrel{\rightarrow}{B}\cdot \stackrel{\rightarrow}{A})\stackrel{\rightarrow}{C}

Ansanm vektè resipwòk yo

Vektè sa yo itilize yo nan kristalografi. Yon kristal se yon aranjman atòm ki peryodik nan espas la. Yo ka reprezante yon inite nan aranjman sa a, ki rele motif, ak twa(3) vektè \stackrel{\rightarrow}{a},\stackrel{\rightarrow}{b},\stackrel{\rightarrow}{c} ki pa egal ak vektè nil e kip a nan menm plan. Nan ka jeneral kote baz espas la pa òtogonal, li pi fasil pou yo fè analiz rezo kristal la gras ak konsèp Josiah Willard Gibbs te envante yo rele rezo resipwòk la.

Vektè \stackrel{\rightarrow}{a},\stackrel{\rightarrow}{b},\stackrel{\rightarrow}{c} yo ak vektè \stackrel{\rightarrow}{a'},\stackrel{\rightarrow}{b'},\stackrel{\rightarrow}{c'} yo rele  vektè oubyen sistèm vektè resipwòk si :

  •  \stackrel{\rightarrow}{a}\cdot \stackrel{\rightarrow}{a'}=\stackrel{\rightarrow}{b}\cdot \stackrel{\rightarrow}{b'}=\stackrel{\rightarrow}{c}\cdot \stackrel{\rightarrow}{c'}=1
  • \stackrel{\rightarrow}{a'}\cdot \stackrel{\rightarrow}{b}=\stackrel{\rightarrow}{a'}\cdot \stackrel{\rightarrow}{c}=\stackrel{\rightarrow}{b'}\cdot \stackrel{\rightarrow}{a}=\stackrel{\rightarrow}{b'}\cdot \stackrel{\rightarrow}{c}=\stackrel{\rightarrow}{c'}\cdot \stackrel{\rightarrow}{a}=\stackrel{\rightarrow}{c'}\cdot \stackrel{\rightarrow}{b}=0

Vektè \stackrel{\rightarrow}{a},\stackrel{\rightarrow}{b},\stackrel{\rightarrow}{c} yo ak vektè \stackrel{\rightarrow}{a'},\stackrel{\rightarrow}{b'},\stackrel{\rightarrow}{c'} yo se vektè oubyen sistèm vektè resipwòk si :

\stackrel{\rightarrow}{a'}=\frac{\stackrel{\rightarrow}{b} \wedge \stackrel{\rightarrow}{c}}{\stackrel{\rightarrow}{a}\cdot (\stackrel{\rightarrow}{b}\wedge \stackrel{\rightarrow}{c})} \quad \stackrel{\rightarrow}{b'}=\frac{\stackrel{\rightarrow}{c} \wedge \stackrel{\rightarrow}{a}}{\stackrel{\rightarrow}{a}\cdot (\stackrel{\rightarrow}{b}\wedge \stackrel{\rightarrow}{c})} \quad \stackrel{\rightarrow}{c'}=\frac{\stackrel{\rightarrow}{a} \wedge \stackrel{\rightarrow}{b}}{\stackrel{\rightarrow}{a}\cdot (\stackrel{\rightarrow}{b}\wedge \stackrel{\rightarrow}{c})}

Teknik pou n fè pwojeksyon vektè initè yo

Konpozant vektè initè \stackrel{\rightarrow}{e} a nan plan Oxy la se \cos \theta et \sin \theta nan kèlkeswa ka ou konsidere a. Sonje, yo konte ang apati aks x pozitif, nan sans kontrè ak egwi yon mont.

20190517_122355

De premye ang yo pozitif(anviwon 25^\circ ak 125^\circ) epi dènye ang la negatif (anviwon-30^\circ). Kidonk,

.Premye ka: \vec{e}=\cos\theta \vec{\imath}+\sin\theta \vec{\jmath}=\left(  \begin{array}{c}  \cos 25^\circ\\  \sin 25^\circ  \end{array}  \right)

.Dezyèm ka\vec{e}=\cos\theta \vec{\imath}+\sin\theta \vec{\jmath}=\left(  \begin{array}{c}  \cos 125^\circ\\  \sin 125^\circ  \end{array}  \right)

.Twazyèm ka\vec{e}=\cos\theta \vec{\imath}+\sin\theta \vec{\jmath}=\left(  \begin{array}{c}  \cos (-30^\circ)\\  \sin (-30^\circ)  \end{array}  \right)

Fizik an Kreyòl, Matematik pou Fizik

Vektè (rès la)

Espas afin eklidyen-Espas metrik

Yon espas afin eklidyen se yon espas afin ki gen yon espas vektoryèl eklidyen pou direksyon. Lè sa a, nou vin gen yon distans sou espas afin \mathcal{E} a.

M jije li pa nesesè pou m defini distans nan kou sa a, men m ap di senpman se yon zouti matematik ki pèmèt nou fè  kalkil longè.

Lè yon espas afin vin gen yon distans sou li, li pote non espas metrik: (\mathcal{E}, d) kote d se distans la. Li klè la a nou di distans nan sans Eklid. Nan espas n ap evolye a distans sa a byen adapte pou sitiyasyon an. Men, pi devan nou ka ann afè ak kèk espas kote distans sa a pa valab ankò, pa egzanp, nan yon espas koub a twa dimansyon.

(A,B)\in \mathcal{E}^2, d(A,B)=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|

Nan sistèm kowòdone katezyen an, nou genyen:

\overrightarrow{OA}=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i\,\vec{e}_i              \overrightarrow{OB}=\displaystyle \sum_{i=1}^n x^\prime _i\,\vec{e}_i 

Kidonk, \overrightarrow{AB}=\displaystyle \sum_{i=1}^n ( x^\prime _i-x_i)\,\vec{e}_i

N ap fè longè (nòm, grandè) vektè \overrightarrow{AB} a soti nan ekspresyon sa a konsa:

\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n ( x^\prime _i-x_i)\,\vec{e}_i \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^n ( x^\prime _j-x_j)\,\vec{e}_j=\displaystyle \sum_{i=1}^n ( x^\prime _i-x_i)^2

Nan espas afin fizik ki gen twa dimansyon an ekspresyon nòm nan se:

\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{( x^\prime -x)^2+( y^\prime -y)^2+( z^\prime -z)^2}

Si A ak B pre pre youn ak lòt, lè sa a n ap genyen: \left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}

Vektè initè 

  1. Ann konsidere yon vektè \vec{A} nan E. \vec{A} se yon vektè initè si \left\|\vec{A}\right\|=1
  2. Si \left\|\vec{A}\right\| \neq 0, \left\|\dfrac{\vec{A}}{\left\|\vec{A}\right\|}\right\|=1
  3. Si \vec{u} se yon vektè initè nan direksyon \vec{A}, \vec{u}=\dfrac{\vec{A}}{\left\|\vec{A}\right\|}. Kidonk, nou ka ekri: \vec{A}=\left\|\vec{A}\right\| \, \vec{u}.

Baz dirèk ak baz endirèk

  • Ann pran twa vektè \vec{U}, \vec{V}, \vec{W}. Sistèm twa vektè sa yo fòme yon baz dirèk si, lè yon moun ki kanpe ak pye l nan O e tèt li nan A ap gade nan direksyon B, li wè pwen C adwat li. Si li wè pwen C a agoch li, baz la se yon baz endirèk.
  • Nou ka di tou, yon baz dirèk respekte règ ti tonton Anpè a(Ampère) oubyen règ ti-bouchon Makswèl la (Maxwell) oubyen règ twa dwèt men dwat Flemin nan (Fleming).

Distenksyon ki genyen an baz dirèk ak baz endirèk la pèmèt nou fè diferans ant vrè vektè yo ak psedovektè yo.

  • Vrè vektè (vektè polè): yo pa depandan de oryantasyon baz la. Poutèt sa yo itilize yon flèch dwat pou yo (\overrightarrow{A}).
  • Psedovektè (vektè aksyal): yo depann de oryantasyon baz la. Poutèt sa yo utilize yon flèch koub pou yo (egzanp \stackrel{\curvearrowbotright}{B}).

Sans vektè aksyal yo se yon konvansyon: sa vle di se syantifik yo ki mete yo dakò sou ki sans y ap bay vektè sa yo. Pi devan n ap wè ki operasyon ki bay yon vektè aksyal.

Fizik an Kreyòl, Matematik pou Fizik

Vektè

Nan Matematik yon vektè se yon eleman ki gen yon longè (yon grandè oswa yon nòm) ak yon oryantasyon (direksyon ak sans). Yo se eleman yon ansanm ki pote non espas vektoryèl.

Espas vektoryèl

Yon espas vektoryèl se yon ansanm ki gen yon estrikti ki pèmèt yo fè konbinezon lineyè ak eleman l yo.

Si n gen yon ansanm E ak yon kò \mathbb{K}(li posib pou \mathbb{K} se ansanm reyèl yo \mathbb{R} oubyen ansanm konplèks yo \mathbb{C}). Eleman nan kò a se eskalè. Ansanm E sa a se yon espas vektoryèl si lè n asosye l ak lwa adisyon an (+) li se yon gwoup komitatif  epi li verifye kondisyon sa a:

Si n pran (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\in E ak (\lambda, \mu)\in \mathbb{K}, n ap genyen:

  • \lambda(\stackrel{\rightarrow}{u}+\stackrel{\rightarrow}{v})=\lambda\stackrel{\rightarrow}{u}+ \lambda\stackrel{\rightarrow}{v}            
  • (\lambda + \mu)\stackrel{\rightarrow}{u}= \lambda\stackrel{\rightarrow}{u}+\mu\stackrel{\rightarrow}{u}
  • \lambda(\mu\stackrel{\rightarrow}{u})=(\lambda\,\mu)\stackrel{\rightarrow}{u}
  • 1\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{u}

Espas fizik nou ye a, jan nou konnen l lan, li nan dimansyon 3. Si n konsidere yon ti pati nan \mathbb{R}^3 nou note  \mathcal{E} (pi devan n a di kisa \mathcal{E} ye). Si n pran de pwen P ak Q nan \mathcal{E}, de pwen sa yo defini yon vektè. N ap reprezante vektè ak yon flèch. P rele orijin, Q rele ekstremite. 

 Tout sa n t ap di la yo, men kijan yo ekri ak senbòl matematik:

  • \mathcal{E} \subset \mathbb{R}^3, (P,Q)\in \mathcal{E}.

  •   \overrightarrow{PQ}, gen sans P\longrightarrow Q.

  • PQ se sipò  \overrightarrow{PQ}: dwat ki pote vektè a.

  • [P;Q]=|| \overrightarrow{PQ}||: longè vektè \stackrel{\rightarrow}{PQ} a.

vekte1

Plizyè kalite vektè

  1. Vektè lye: vektè ki asosye ak yon pwen P kèlkonk, ki rele pwen aplikasyon (se pwen ki sibi aksyon dirèk vektè a). Yon vektè lye se yon grandè ki gen menm pwopriyete ak yon deplasman.
  2. Vektè lib: vektè ki pa asosye ak okenn pwen.
  3. Vektè glisan: se yon vektè lye men aksyon l pa chanje si yo deplase pwen aplikasyon an sou sipò vektè a.

Konbinezon lineyè

Konbinezon lineyè a, se sòm pwodui chak vektè yo ak yon eskalè. Si fanmi vektè a gen \stackrel{\rightarrow}{v}_1, \stackrel{\rightarrow}{v}_2, \stackrel{\rightarrow}{v}_3 ladan l epi gen \lambda_1, \lambda_2 ak \lambda_3 ki se eleman nan \mathbb{K}, konbinezon lineyè a se: \lambda_1 \stackrel{\rightarrow}{v}_1+\lambda_2 \stackrel{\rightarrow}{v}_2+\lambda_3 \stackrel{\rightarrow}{v}_3.

Espas vektoryèl eklidyen

Yon espas vektoryèl E se yon espas vektoryèl eklidyen si l gen yon pwodui eskalè f ki pran de vektè \stackrel{\rightarrow}{u} ak \stackrel{\rightarrow}{v} nan E li fè yo koresponn ak yon nonb reyèl f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v}) ki fè:

  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})=f(\stackrel{\rightarrow}{v}, \stackrel{\rightarrow}{u})
  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \lambda \stackrel{\rightarrow}{v})= \lambda f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})
  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{w})= f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})+f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{w})
  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{u})>0 si \stackrel{\rightarrow}{u}\neq\stackrel{\rightarrow}{0} epi f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{u})=0 si \stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{0}.
  •                 Kare eskalè :f(\stackrel{\rightarrow}{u},\stackrel{\rightarrow}{u})=||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2
  •                 Notasyon: f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})=\stackrel{\rightarrow}{u} \cdot \stackrel{\rightarrow}{v}.

Baz yon espas vektoryèl

Baz yon espas vektoryèl E se yon ti gwoup vektè, nou ka di yon fanmi vektè, ki lib. Fanmi vektè a lib, se lè sèl grenn konbinezon lineyè vektè sa yo ki egal ak zewo, se sa tout kowefisyen yo egal ak zewo a.

Fanmi (\stackrel{\rightarrow}{e}_i)_{i\in \left[1,n\right]}\in E se yon baz si:

  • \forall \alpha_i \in \mathbb{R}, \stackrel{\rightarrow}{e}_i \in E, \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\alpha_i\stackrel{\rightarrow}{e}_i=\stackrel{\rightarrow}{0}\Longrightarrow \alpha_i=0
  • \forall \stackrel{\rightarrow}{u}\in E,\stackrel{\rightarrow}{u}=\displaystyle \sum_{i=1}^n{x_i\stackrel{\rightarrow}{e}_i}
    • x_i yo se sa nou rele konpozant \stackrel{\rightarrow}{u} nan baz nou konsidere a.

Yon baz se yon baz òtonòme si \stackrel{\rightarrow}{e}_i\cdot \stackrel{\rightarrow}{e}_j=0i\neq j epi \stackrel{\rightarrow}{e}_i\cdot \stackrel{\rightarrow}{e}_i=1.

Espas afin

Nan jewometri afin « klasik » yo defini espas afin apati yon espas vektoryèl sou yon kò ki se kò nonb reyèl yo, \mathbb{R}.

Eleman nan yon espas afin pote non pwen.

Nan jewometri, nosyon espas afin nan jeneralize nosyon espas nou jwenn nan jewometri Eklid la. La a n ap tchwe je nou zafè ang ak distans, nou ka pale sèlman de aliyman, paralelis ak barisant. Pi devan, n ap mete n nan kondisyon pou n pale de ang ak distans.

Si n gen espas vektoryèl E sou yon kò \mathbb{K}, yon espas afin direksyon E se yon ansanm \mathcal{E} ki pa vid, ki gen yon mwayen pou l asosye chak bipwen (A,B)\in \mathcal{E}^2 ak yon vektè nan E:

            (A,B)\in\mathcal{E}^2\longrightarrow  \overrightarrow{AB}\in E

Kidonk, si (A,B,C)\in \mathcal{E}^3, nou dwe genyen:

  1. \overrightarrow{AB}=- \overrightarrow{BA}
  2. \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}
  3. O \in \mathcal{E}, \stackrel{\rightarrow}{v} \in E, \exists A\in \mathcal{E} ki fè n gen \overrightarrow{OA}= \overrightarrow{v}

Fizik an Kreyòl, Matematik pou Fizik

Mezi ak inite

Nan aktivite n ap mennen chak jou nou bezwen mezire. Jan nou konnen sa deja, jewometri pran nesans nan peyi Lejip akoz lè larivyè Nil la pase li te konn rache tout bòn tè yo. Pou chak moun te ka jwenn menm kantite tè li te genyen anvan inodasyo an, yo te mezire tout tè yo.

Pou kantifye mezi sa yo lasyans itilize sa ki sistèm metrik la. Nan sistèm sa a kantite fondamantal yo se longè, mas, tan, kouran, tanperati Kèlvin, kantite matyè ak entansite limyè ki mezire an mèt (m), kilogram(kg), segonn (s), anpè (A), kèlvin (K), mòl (mol) ak kandela (cd), nan menm lòd la. Gen de lòt inite yo itilize tou pou mezire ang : radyan(rad) pou mezire ang òdinè yo ak esteradyan (sr) pou mezire ang solid.

Gen lòt kantite yo rele kantite derive ki soti anndan kantite fondamantal yo. Distenksyon ki genyen ant kantite fondamantal yo ak kantite derive yo se yon bagay abitrè: nan sistèm anglosakson an yo pran fòs kòm yon kantite fondamantal epi yo pran mas kòm yon kantite derive.

Sistèm entènasyonal – Inite SI

Kounye a se Sistèm entènasyonal inite yo ki se nòm yo itilize toupatou nan mond la. Se yon vèsyon pi modèn sistèm metrik la. Nan sistèm sa a yo itilize definisyon ki syantifikman pi jis pou kantite fondamantal yo.

Longè 

Longè mezire an mèt (m).Nan yon premye tan yo te defini mèt la kòm di milyonyèm pati nan distans ant ekwatè a ak pòl nò tè a. Nan lane 1889 yo te fè yon mèt estanda pou ranplase premye a ki te baze sou mezi tè a. Nan lane 1960 yo vin adopte youn ki baze sou longèdond limyè a pou ranplase dezyèm nan. Yo te panse yon mezi ki fèt selon pwosedi ki tabli nan yon laboratwa gen avantaj syantifik tout kote ka repwodui l lè yo bezwen l. Men, nan ane 1970 yo, vitès limyè a vin yon bagay moun ka mezire ak plis presizyon. Sa vin fè nan lane 1983 yo vin adopte definisyon sa a pou mèt la:

Mèt la se longè chemen limyè a travèse nan levid pandan yon entèval tan ki se \frac{1}{299 792 458} segonn.

Tan

Tan an mezire an segonn (s). Yo abitye defini segonn nan apati wotasyon tè a, men yo vin remake wotasyon sa a pa rete menm bagay tout tan. Se konsa, nan lane 1967 yo defini l konsa:

Segonn se kantite tan ki koule pandan 9 192 631 770 peryòd radyasyon ki koresponn ak tranzisyon ant de nivo ipèfen atòm yo rele Sezyòm 133 a.

Bagay sa yo se gwo koze nou poko ka fin eksplike la a. Men pou ka gen yon ide sou sa ki yon peryòd, al gade gwo revèy ki gen balansye lakay granpapa w la: lè w wè li agoch epi li ale a adwat ansuit li retounen agoch ankò sa fè yon peryòd.

Mas

Mas se youn nan bagay ki pi mal pou defini. Olye yo defini l selon prensip definisyon operasyonèl yo, inite mas la defini apati yo pwototip yo rele li pwototip entènasyonal kilogram, yo konsève li nan Biwo Entènasyonal Pwa ak Mezi yo nan lavil Sèv (Sèvres) nan peyi Lafrans.

Pwototip sa a fèt ak yon alyaj platin-iridyòm espesyal, yon alyaj ki tèlman di li pa ka sibi kowozyon. Pakont, li ka chanje. Kounye a la a, y ap reflechi sou lòt fason pou yo defini kilogram nan: y ap eseye konte kantite atòm ki nan volim nan.