Espas afin

Nan jewometri afin « klasik » yo defini espas afin apati yon espas vektoryèl sou yon kò ki se kò nonb reyèl yo, \mathbb{R}.

Eleman nan yon espas afin pote non pwen.

Nan jewometri, nosyon espas afin nan jeneralize nosyon espas nou jwenn nan jewometri Eklid la. La a n ap tchwe je nou zafè ang ak distans, nou ka pale sèlman de aliyman, paralelis ak barisant. Pi devan, n ap mete n nan kondisyon pou n pale de ang ak distans.

Si n gen espas vektoryèl E sou yon kò \mathbb{K}, yon espas afin direksyon E se yon ansanm \mathcal{E} ki pa vid, ki gen yon mwayen pou l asosye chak bipwen (A,B)\in \mathcal{E}^2 ak yon vektè nan E:

            (A,B) \in \mathcal{E}^2 \longrightarrow  \overrightarrow{AB} \in E

Kidonk, si (A,B,C)\in \mathcal{E}^3, nou dwe genyen:

  1. \overrightarrow{AB}=- \overrightarrow{BA}
  2. \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}
  3. O \in \mathcal{E}, \stackrel{\rightarrow}{v} \in E, \exists A\in \mathcal{E} ki fè n gen \overrightarrow{OA}= \overrightarrow{v}

Nou te entwodwi nosyon sa yo lè nou te komanse pale de vektè.

Pa konvansyon, yo rele O, pwen ki non orijin referansyèl ke nou chwazi an.

Yon referansyèl, nan yon espas afin, se:

  • yon baz vektoryèl nan yon espas vektoryèl
  • plis yon pwen nan espas afin lan

Yon espas afin eklidyen se yon espas afin ki gen yon espas vektoryèl eklidyen pou direksyon. Lè sa a, nou vin gen yon distans sou espas afin \mathcal{E} a.

M jije li pa nesesè pou m defini distans nan kou sa a, men m ap di senpman se yon zouti matematik ki pèmèt nou fè  kalkil longè (Menm jan ak pwodwi eskalè).

Lè yon espas afin vin gen yon distans sou li, li pote non espas metrik: (\mathcal{E}, d) kote d se distans la. Li klè la a nou di distans nan sans Eklid. Nan espas n ap evolye a distans sa a byen adapte pou sitiyasyon an. Men, pi devan nou ka ann afè ak kèk espas kote distans sa a pa valab ankò, pa egzanp, nan yon espas koub a twa dimansyon.

(A,B)\in \mathcal{E}^2, d(A,B)=\left\|\overrightarrow{AB}\right\| =  \sqrt{ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}}

Isi a nou itilize pwodwi eskalè pou nou defini distans lan.

Men an fizik nou travay anpil ak espas ki gen 2 ou byen 3 dimansyon. Paske nou kwè ke monn nap viv la gen 3 dimansyon. Depi yon fizisyen pale ou de espas, gen anpil chans ke li ap pale de yon espas tridimansyonèl.