Espas vektoryèl

Yon espas vektoryèl se yon ansanm (makòn) ki gen yon estrikti ki pèmèt yo fè konbinezon lineyè ak eleman l yo. Eleman nan ansanm (makòn) sa a rele vektè.

Nan desen ki anba a, nou ka reprezante yon vektè ki gen 2 dimansyon. Nan desen sa a, chak pwen nan desen an se yon vektè. Men nou reprezante yon vektè:

\vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}

Nan ansanm vektoryèl, nou genyen yon adisyon vektoryèl ki komitatif, sa vle di lòd la pa enpòtan:

\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Adisyon de vektè bay yon lòt vektè. Se menm adisyon nou te bay egzanp la nan paj vektè a.

\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 2.0 \\ 0.5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1.5 \\ 2.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.5 \\ 2.5 \end{bmatrix}

Nan yon ansanm (makòn) vektoryèl, genyen yon vektè ki spesyal, ki rele vektè nil \vec{0}. Ou mèt pran nenpot ki vektè \vec{v} ou adisyone li avek vektè nil, lap reba ou menm vektè \vec{v} a toujou:

\vec{v} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{v} = \vec{v}

An algèb yon eleman konsa rele yon eleman nèt ( élement neutre en français). Nan egzanp nou ak vektè ki gen 2 dimansyon, kowòdone li se :

\vec{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

Nan yon ansanm (makòn) vektoryèl, nou defini yon miltiplikasyon yon vektè ak yon eskalè.

\vec{u} = \lambda \times \vec{v}

Nan paj sa a tout lèt ki gen yon ti flèch sou tèt yo se vektè, sa ki pa gen ti flèch la, se eskalè.

Lè w miltipliye yon vektè ak yon eskalè, sa bay yon lòt vektè, menm jan nou ka wè nan desen ki anba a.

3 \times \begin{bmatrix} 1.5 \\ 1.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5 \\ 3.0 \end{bmatrix}

Fok nou remake ke si nou miltpliye nenpot ki vektè pa zero, rezilta bay vektè nil.

0 \times \vec{v} = \vec{0}

Fok nou remake ke si nou miltpliye nenpot ki vektè pa 1, rezilta bay menm vektè a.

1 \times \vec{v} = \vec{v}

Men nou pa ka miltipliye 2 vektè ansanm. Antouka nou poko defini kijan pou nou ta fè sa. Men ak miltiplikasyon eskalè e adisyon nou ka fè konbinezon 2 vektè k ap ban nou yon lòt vektè:

\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}

Sa rele yon konbinezon lineyè.

Baz yon espas vektoryèl

Nan yon espas vektoryèl, ou toujou ka jwen yon ti gwoup vektè (yo rele sa yon fanmi vektè) ki ka ba w nenpòt ki vektè w vle, ak yon konbinezon lineyè. Nou ka di li yon lòt jan: kèlkeswa vektè w pran nan espas vektoryèl la, li se yon konbinezon lineyè de fanmi vektè sa. Lè sa yo di fanmi vektè sa a jeneratris.

Pa egzanp si nou pran vektè \vec{i} ak vektè \vec{j}, jan nou wè nan desen sa a nou ka ekri vektè \vec{v} tankou yon konbinezon lineyè:

\vec{v} = 4 \times \vec{i} + 3 \times \vec{j}

Nou mèt pran tan chache nan desen an, pou nou wè si nou ka jwenn yon vektè ki pa ka ekri tankou yon konbinezon lineyè vektè \vec{i} ak vektè \vec{j}.

M panse n ap sispèk deja, nou te ka jwenn yon lòt fanmi vektè ki ka bay nenpòt ki vektè lè n fè konbinezon lineyè . An reyalite gen yon enfinite fanmi vektè ki ka fè sa. Nou ka bay yon lòt egzanp ak menm vektè sa a.

\vec{v} = 3 \times \vec{k} + 1 \times \vec{l}

Yon fanmi vektè ka gen plis pase 2 vektè ladan li. Kidonk, nou te ka pran tou vektè sa yo \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ak \vec{l} nan yon sèl fanmi. Men fanmi sa a pa tab lib sa vle di nou te ka jwenn manm nan fanmi sa a ki ka ekri tankou konbinezon lineyè lòt manm nan fanmi an.

\vec{k} = 1.5 \vec{i} + 0.5 \vec{j}

\vec{l} = -0.5 \vec{i} + 1.5 \vec{j}

Pou yon fanmi vektè ka rele yon baz vektoryèl,

  • Fòk fanmi an lib, sa vle di pa gen okenn manm nan fanmi an ki ka ekri tankou yon konbinezon lineyè lòt manm nan fanmi an.
  • Fòk fanmi an jeneratris, sa vle di li ka bay tout vektè nan espas vektoryèl la lè n fè konbinezon.

Yon bagay enpòtan pou nou kenbe sèke nan yon espas vektoryèl gen yon enfinite kantite baz vektoryèl.

Nou ka ekri kondisyon sa yo matematikman:

Definisyon matematikEsplikasyon an kreyol
Fanmi (\stackrel{\rightarrow}{e}_i)_{i\in \left[1,n\right]}\in E se yon baz si:

\alpha_i \in \mathbb{R}, \stackrel{\rightarrow}{e}_i \in E, \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\alpha_i\stackrel{\rightarrow}{e}_i=\stackrel{\rightarrow}{0}\Longrightarrow \alpha_i=0 .

\forall \stackrel{\rightarrow}{u}\in E,\stackrel{\rightarrow}{u}=\displaystyle \sum_{i=1}^n{e_i\stackrel{\rightarrow}{e}_i}.
Si nou gade yon fanmi vektè nan ansanm E, ki genyen \vec{e_1} ,\vec{e_2} rive nan \vec{e_n}, li se yon baz si:
Pa gen okenn kobinezon lineyè nou ka fè avek yo pou ban nou vektè nil, san tout eskalè nan miliplikasyon an pa egal zero.
Tout vektè nan espas la se yon konbinezon lineyè de vektè nan fanmi sa.

Pwen enpòtan:

  • Dimansyon yon espas vektoryèl se kantite vektè ki genyen nan baz vektoryèl li.
  • Kowòdone yon vektè toujou defini pa rapò ak yon baz vektoryèl. Pa egzanp lè nou ekri ke yon vektè gen kowòdone \vec{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} nan baz vektoryèl (\vec{i}, \vec{j}), se menm bagay ke si nou te ekri \vec{v} = a  \vec{i} + b  \vec{i}

Nou ka bay yon definisyon matematik yon espas vektoryèl

Si n gen yon ansanm E (yon makòn E) ak yon kò \mathbb{K}(li posib pou \mathbb{K} se ansanm reyèl yo \mathbb{R} oubyen ansanm konplèks yo \mathbb{C}). Eleman nan kò a se eskalè. Ansanm E sa a se yon espas vektoryèl si lè n asosye l ak lwa adisyon an (+) li se yon gwoup komitatif  epi li verifye kondisyon sa yo:

Si n pran (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\in E ak (\lambda, \mu)\in \mathbb{K}, n ap genyen:

  • \lambda(\stackrel{\rightarrow}{u}+\stackrel{\rightarrow}{v})=\lambda\stackrel{\rightarrow}{u}+ \lambda\stackrel{\rightarrow}{v}            
  • (\lambda + \mu)\stackrel{\rightarrow}{u}= \lambda\stackrel{\rightarrow}{u}+\mu\stackrel{\rightarrow}{u}
  • \lambda(\mu\stackrel{\rightarrow}{u})=(\lambda\,\mu)\stackrel{\rightarrow}{u}
  • 1\stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{u}

Men gen operasyon matematik ki manke, kijan nou ka pa egzamp konpare 2 vektè ? Si nou travay ak vektè , kijan nou ka kalkile longè yo ? Nou ka eseye reponn kesyon sa yo avek yon lòt operasyon matematik ki rele pwodwi eskalè.