Kalkil matris

Kalkil detèminan yon matris

Detèminan: se yon reyèl ou jwenn apati kèk operasyon espesyal sou eleman nan yon matris kare.

N ap evite definition fòmèl detèminan an ki itilize nosyon pèmitasyon. N ap pale sou kijan yo fè kalkil detèminan an.

  • M \in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), n>1
  • Matris minè(asosye ak a_{ij}):M_{ij}\in \boldmath{M}_{n-1}(\mathbb{K})

Se matris ou jwen lè w elimine i^{yem} liy nan ak j^{yem} kolonn nan yon maris.

  • Minè (asosye ak a_{ij}):\det(M_{ij})

Se fetèminan matris minè a.

  • Kofaktè(asosye ak a_{ij}\in M):c_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})
  • \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}
  • $latex \left|
    \begin{array}{ccc}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
    a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
    \end{array}
    \right|=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}
    $
  • \det({}^t M)=\det(M)

Kalkile envès yon matris kare.

  • Komatris M: co(M)=(c_{ij})
  • M\in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), \det(M)\neq 0 : M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}{}^t co(M)
  • M\in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), M\cdot M^{-1}=I_n:matris idantite òd n.
  • M\cdot I_n=I_n \cdot M=M
  • M\in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}), \det(M)\neq 0:\det(M^{-1})=[\det(M)]^{-1}

Valè pwòp

Yon vektè \vec{u} nan E^3 ki pa egal ak vektè \vec{0} se yon vektè pwòp pou aplikasyon f la si gen yon

\lambda ki egziste ki fè :

f(\vec{u})=\lambda\vec{u}

\lambda se yon valè pwòp ki asosye ak \vec{u}.

Pou n ka jwenn valè pwòp yon aplikasyon lineyè, n ap anni rezoud f (\vec{u}) - \lambda\vec{u} = \vec{0} ak \vec{u}\neq \vec{0}.

Sa ki pa ka reyalize ak (u_1, u_2, u_3 )\neq(0,0,0)  sèlman lè n fè detèminan sistèm sa a egal ak zewo, as vle di lè n anile polinòm karakteristik aplikasyon f la:

\det(A-\lambda Id_E)=0

sa nou ka ekri sou fòm matris konsa :

$latex \left|
\begin{array}{ccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}
\right|=0$

Aplikasyon simetrik ak aplikasyon antisimetrik

Ann pran yon aplikasyon h  E^3 nan E^3.

  • si \forall \vec{u}, \vec{v} \in E^3 \vec{u}\cdot h(\vec{v})=\vec{v}\cdot h(\vec{u}) h simetrik.
  • si \forall \vec{u}, \vec{v} \in E^3 \vec{u}\cdot h(\vec{v})=-\vec{v}\cdot h(\vec{u}) h antisimetrik.

Pwopryete: Yon aplikasyon lineyè simetrik oubyen antisimetrik oblije lineyè.

Pwopryete aplikasyon lineyè simetrik yo

  • h_s se yon aplikasyon lineyè simetrik  E^3 nan E^3
  • A_s: matris h_s nan yon BOND (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)
  • A_s simetrik (A_s={}^t A_s)
  • Valè pwòp A_S yo se reyèl.
  • Genyen omwens yon baz òtonòme h_s ki fòme sèlman ak vektè pwòp. Nan baz sa a, matris h_s la se yon matris dyagonal .
  • \forall \vec{u} \in E^3, \vec{u}\cdot h(\vec{u})>0\Longrightarrow valè pwòp pozitif.

Lè n ap chache valè ak vektè pwòp yon aplikasyon lineyè epi n eksprime matris nan yon baz pwòp (sa vle di yon baz ki fèt ak vektè pwòp), lè sa a nou di n ap dyagonalize operatè a.

Pwopryete aplikasyon lineyè antisimetrik yo

  • h_a aplikasyon lineyè simetrik E^3 nan E^3
  • A_a: matris h_s nan yon BOND (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)
  • A_s simetrik (A_s=-{}^t A_s)
  • \forall i,\vec{e}_i\cdot h_a(\vec{e}_i)=-\vec{e}_i\cdot h_a(\vec{e}_i) kidonk a_{ii}=0
  • \forall i,j ,\vec{e}_j\cdot h_a(\vec{e}_i)=-\vec{e}_i\cdot h_a(\vec{e}_j) kidonk a_{ij}=-a_{ij}
  • \forall \vec{u}\in E^3,[h_a(u)]=A_a(u)=\vec{R}\wedge \vec{u}