Matris ak aplikasyon lineyè

An nou konsidere yon aplikasyon lineyè g: E \rightarrow F ki pran yon vektè nan makòn E e ki bay kòm rezilta yon vektè nan makòn F.

Annou konsidere (\vec{e}_1, \vec{e}_2) yon baz vektoryèl nan E ak (\vec{f}_1, \vec{f}_2) yon baz vektoryèl nan F.

An nou pran  \vec{u}\in E, nou ka ekri:

\vec{u}=a \vec{e}_1 +  b\vec{e}_2 = \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}

Paske g se yon aplikasyon lineyè, nou ka ekri:

g(\vec{u})  = a g(\vec{e}_1) + bg(\vec{e}_2)

g(\vec{e}_1) ak g(\vec{e}_2) se 2 vektè nan makòn F. Ki donk nou ka ekri toujou:

g(\vec{e}_1)  = g_{11} \vec{f}_1 + g_{21} \vec{f}_2 = \begin{bmatrix} g_{11}\\g_{21} \end{bmatrix}

g(\vec{e}_2)  = g_{12} \vec{f}_1 + g_{22} \vec{f}_2  = \begin{bmatrix} g_{12}\\g_{22} \end{bmatrix}

g_{11}, g_{12}, g_{21}, g_{22} se tout eskalè ki depann de baz vektoryèl ke nou te chwazi nan E ak F. Si nou chanje youn nan eskalè sa yo se yon lòt aplikasyon lineyè nap genyen. Ki donk 4 eskalè sa yo ka reprezante korekteman aplikasyon lineyè a.

An nou kontinye ekri g(\vec{u}). Nou genyen:

g(\vec{u})  = a g(\vec{e}_1) + bg(\vec{e}_2)

g(\vec{u})  = a \begin{bmatrix} g_{11}\\g_{21} \end{bmatrix}  + b \begin{bmatrix} g_{12}\\g_{22} \end{bmatrix}

Men nou ka senplifye ankò:

g(\vec{u}) = \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12}\\  g_{21} &  g_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}

Nou ka wè ke nou separe tout eskalè sa yo nan 2 tablo. Youn ki gen konpozant vektè \vec{v} epi rès eskalè yo ki depann de aplikasyon lineyè a sèlman.

Men pou nou ka ekri li konsa nou bezwen defini yon konvansyon. Nap rele tablo ki genyen g_{11}, g_{12}, g_{21}, g_{22} matris. (Nou ka wè se matris la se yon tablo kote nou kole plizyè vektè youn ak lot.) Matris nan egzanp sa gen 2 kolònn ak 2 liy .Epi fok nou defini yon miltiplikasyon adwat ant yon matris ak yon vektè.

(Nou mete aksan sou adwat paske miltipliksayon sa pa komitatif. Men nap esplike sa yon lòt lè.)

Pou nou ka miltipliye a dwat yon matris ak yon vektè , fòk kantite kolònn matris la egal ak kantite liy vektè a. (Sonje ke vetkè ka gen plis ke 2 liy)

Nap defini miltiplikasyon a dwat matris G ak yon vektè \vec{v} konsa:

\begin{bmatrix}  g_{11} & g_{12} & \hdots  & g_{1n}\\ g_{21} & g_{22} & \hdots  & g_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ g_{k1} & g_{k2} & \hdots  & g_{kn}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}  =   \begin{bmatrix}  g_{11} \cdot v_1 + g_{12} \cdot v_2 + \hdots  + g_{1n} \cdot v_n\\ g_{21} \cdot v_1 + g_{22} \cdot v_2 + \hdots  + g_{2n} \cdot v_n \\ \vdots \\ g_{k1} \cdot v_1 + g_{k2} \cdot v_2 + \hdots  + g_{kn} \cdot v_n  \end{bmatrix}

Avek definisyon sa, yon matris G sifi pou reprezante yon aplikasyon lineyè g: E \rightarrow F si nou gen baz vektoryèl nan E ak nan F.

Konsa, pou n ka konnen yon aplikasyon lineyè, nou sèlman bezwen konnen imaj chak vektè nan baz la atravè aplikasyon an.

An nou pran egzanp aplikasyon lineyè sa

Si nou di ke vektè ble a lan se imaj \vec{e}_1 ak vektè rouj se imaj vektè \vec{e}_2 nou ka ekri matris aplikasyon lineyè a nan baz vektoryèl sa yo:

g(\vec{e}_1) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

g(\vec{e}_2) = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}

Ki donk nou ka ekri matris aplikasyon lineyè a :

G = \begin{bmatrix} 2  & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

Kèk pwopryete yon matris

Matris ki gen n liy ak p kolonn nan yon kò \mathbb{K} : \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K}):

  • Matris kare: Se tout eleman nan \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K})  kote  n=p (\boldmath{M}_{nn}(\mathbb{K}))
  • Notasyon:\boldmath{M}_{n}(\mathbb{K})
  • M=(a_{ij})\in \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K}),N=(b_{ij})\in \boldmath{M}_{pm}(\mathbb{K})
  • M\cdot N=(c_{ij})\in \boldmath{M}_{nm}(\mathbb{K}) / c_{ij}=\displaystyle \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}
  • Tras M \in \boldmath{M}_{n}(\mathbb{K}): \displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii}
  • M \in \boldmath{M}_{np}(\mathbb{K}), {}^t M \in \boldmath{M}_{pn}(\mathbb{K}).