Pwodwi eksalè

An nou imajine 2 vektè \vec{u} ak \vec{v} , kijan nou te ka konpare yo ? Si nou gade egzanp ki bay nan desen anba a, nou wè ke 2 vektè sa yo, al preske nan menm direksyon, menmsi nou wè gen yon ang \theta nan mitan yo.

Nou ka defini you fonksyon matematik ki pran 2 vektè e ki remet nou yon nomb, ki te ka eseye dekri kijan 2 vektè yo ale nan direksyon youn lot.

f(\vec{u}, \vec{v})

Si nap gade desen an, nou ka defini yon fonksyon ki se longè \vec{u} ki ale nan sans vektè \vec{v}.

An nou ekri kom konvansyon \|\vec{u}\| pou longè vektè \vec{u}. Si nou fè sa, nou ka ekri fonksyon an konsa:

f(\vec{u}, \vec{v}) =   \|\vec{u}\| \cos (\theta)

Men jan foksyon sa defini, nou wè ke lòd vektè a enpòtan:

f(\vec{u}, \vec{v}) \neq f(\vec{v}, \vec{u})

\|\vec{u}\| \cos (\theta \neq \|\vec{v}\| \cos (\theta

Pou fonksyon a pa depann de lòd la, an nou chanje fonksyon an yon ti jan, nap miltipliye pati vektè \vec{u} ki al nan sans vektè \vec{v} avek longè vektè \vec{v}:

f(\vec{u}, \vec{v}) =   \|\vec{u}\|   \|\vec{v}\|\cos (\theta)

Kounye a fonksyon nou an komitatif.

Nou ka konprann rezilta fonksyon sa tankou sifas youn nan rektang gri nan imaj ki pi ba a. Kòm fonksyon nou defini a komitatif, sa vle di sifas de rektang sa yo menm. Pran tan pou fè konparezon ant fòmil la, ak rektang nan imaj lan.

Men si nap gade byen fonksyon nou an yon ti jan espesyal. Si nou gade 2 vektè \vec{a} ak \vec{b}, nou ka wè ke pati vektè \vec{a} + \vec{b} ki al nan sans vektè \vec{v} se adisyon pati vektè \vec{a} ki al nan sans \vec{v} ak pati vektè \vec{b} ki al nan sans vektè \vec{v}

Sa ki ta vle di nou genyen (paske vektè \vec{v} pa chanje:

f(\vec{a} + \vec{b}, \vec{v}) = f(\vec{a}, \vec{v}) +  f(\vec{b}, \vec{v})

Lè sa yo di ke fonksyon an distribiye adisyon an. Se menm karakteristik ke nou jwenn nan miltiplikasyon avek eskalè.

a (b + c) = ab + ac

An nou gade yon ka patikilye ak adisyon an:

f(\vec{a} + \vec{a}, \vec{v}) = f(\vec{a}, \vec{v}) +  f(\vec{a}, \vec{v}) = 2 f(\vec{a}, \vec{v}) = f(2\vec{a}, \vec{v})

La nou ka sispèk ke fonksyon nou defini gen yon lòt propryete: li lineyè pa rapò ak chak vektè yo.

An nou gade pa egzanp imaj sila:

Nou wè ke si nou militpliye yon vektè \vec{a} avek yon eskalè \lambda pa egzanp, pati vektè \lambda \vec{a} ki nan menm sans ak vektè \vec{v} egal a \lambda fwa pati vektè \vec{a} ki nan menm sans ak vektè \vec{v}. Ki donk fonksyon nou an ap lineyè pa rapò ak chak nan vektè yo.

Nou ka rezime fraz long sa ak yon fòmil matematik tou kout:

f(\lambda \vec{u}, \vec{v}) =\lambda  f( \vec{u}, \vec{v}) = f( \vec{u},  \lambda \vec{v})

Fonksyon nou an gen yon pakèt karakteristik miltiplikasyon genyen, nap rele fonksyon sa yon pwodwi eskalè. Se paske rezilta fonsksyon an se yon eskalè. Nou pral note pwodwi sa konsa:

f(\vec{u}, \vec{v}) =  \vec{u} \cdot \vec{v}

Pwodwi eskalè sa genyen yon lot seri ti karakteristik.

  • Nou ka wè ke si 2 vektè pèpandikilè youn ak lòt, ang ki nan mitan yo se 90 degre, pa gen okenn vektè ki al nan sans lot, ki donk rezilta pwodwi eskalè 2 vektè sa yo bay 0.
  • Pwodwi eksalè ka negatif, lè de vektè yo ap tire nan de sans difèran, menm jan lè 2 moun ap tire sou yon kòd.
  • Lè nou mete vektè nil nan yon pwodwi eskalè rezila bay zero.
  • Si nou fè pwodwi eskalè de menm vektè li bay longè vektè a o kare, ou byen sifas yon kare ki gen yon kote ki gen longè vektè a. \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|\|\vec{u}\| = {\|\vec{u}\|}^2

An rezime, pwodwi eskalè se yon fonksyon vektoryèl ki pran 2 vektè pou li bay yon eskalè. Fonskyon sa ranpli kondisyon sa yo:

  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})=f(\stackrel{\rightarrow}{v}, \stackrel{\rightarrow}{u})
  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \lambda \stackrel{\rightarrow}{v})= \lambda f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})
  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v}+\stackrel{\rightarrow}{w})= f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})+f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{w})
  •                  f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{u})>0 si \stackrel{\rightarrow}{u}\neq\stackrel{\rightarrow}{0} epi f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{u})=0 si \stackrel{\rightarrow}{u}=\stackrel{\rightarrow}{0}.
  •                 Kare eskalè :f(\stackrel{\rightarrow}{u},\stackrel{\rightarrow}{u})=||\stackrel{\rightarrow}{u}||^2
  •                 Notasyon: f(\stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})=\stackrel{\rightarrow}{u} \cdot \stackrel{\rightarrow}{v}

Se yon zouti matematik ki itlize anpil pou defini distans, e se yon konsèp nap bezwen pou nou defini yon lòt konsèp matematik ki rele espas vektoryel eklidyen.

Kijan nou ka kalkile yon pwodwi eskalè ? An nou gade sa nan paj sa