Vitès

Si n konsidere de mobil k ap soti nan yon pwen A pou ale nan yon pwen B. Obsèvatè a ak règ e kwonomèt li nan men l te gentan mezire distans ant A ak B (d(A,B)). Obsèvatè a gade li wè premye mobil la soti nan A li rive nan B anvan dezyèm mobil la. Sèl sa obsèvatè sa a ka konkli si l pa fizisyen, se di mobil 1 an pi rapid pase mobil 2 a oubyen mobil 2 a pi lan pase mobil 1 an.

220px-MINI_United_2005_Challenge_148                     

Fizisyen yo defini yon rapò ki pèmèt yo apresye sa k pase a pi byen, yo fè rapò deplasman mobil yo (ki se menm bagay) sou tan chak mobil yo pran pou yo fè trajè a.

     Rapò 1=\frac{\vec{r}_B-\vec{r}_A}{t_1-t_0}         rapò 2=\frac{\vec{r}_B-\vec{r}_A}{t_2-t_0}  

t_0 se sa nou rele enstan inisyal la, t_1(resp. t_2) se tan mobil 1 an (resp. mobil 2 a) pran pou soti nan A pou l ale nan B. Rapò sa a yon pant, se pant koub ki bay pozisyon mobil la a chak tan (trajektwa). Fizisyen yo rele sa vitès. Si mobil 1 an pi rapid pase mobil 2 a, se paske vitès mobil 1 an pi fò pase vitès mobil 2 a. Pliske deplasman yo se menm, pou vitès 1 an ka pi fò pase vitès 2 a li obligatwa pou t_1 pi piti pase t_2 (t_1<t_2) jan n te wè sa a. Antouka, nou wè sa yo rele vitès mwayèn nan fòmil ki bay li a se: 

       V_{m}=\frac{deplasman}{dire} $latex [\frac{L}{T}] $

Nan sistèm SI a yon vitès eksprime an mèt/segonn (m\cdot s^{-1}). Gen kèk lòt inite tou yo konn itilize tankou km\cdot h^{-1}, mi\cdot h^{-1}, ne (pou bato ak avyon).

Fòk nou rann nou kont gen anpil enfòmasyon nou pa genyen, nou pa konn anyen ki te petèt te pase pandan trajè a. Fizisyen yo, an bon tilandeng, fè yon pakèt ipotèz: sa ka rive youn nan chofè yo te rete pale ak yon zanmi sou wout la, oubyen gen youn ki te kanpe pou l al pipi oubyen ki te ralanti bay yon moun travèse apre sa ki vin kouri pi vit pou l wè si l a kouvri sa l pèdi nan ralanti a. Se pou rezon sa a vitès nou sot kalkile a yo rele li vitès mwayèn. Se menm jan ak lè yon pwofesè ap kalkile mwayèn laj elèv ki nan klas li (sòm laj tout elèv yo divize pa kantite elèv ki gen nan klas la) rezilta a gen dwa pa egal ak laj youn nan elèv yo. Tout sa se pou n di w vitès mwayèn nan pa bay enfòmasyon egzak sou mouvman mobil yo. Sa pouse fizisyen yo chache konnen pito ki vitès chak mobil yo genyen nan chak pwen sou trajektwa a (Hey! Se pa ti koze. Moun sa yo! Humm!).

Anvan n al gade kijan yo fè pou yo konnen vitès mobil yo nan chak pwen oubyen nan chak enstan nou pral defini yon lòt grandè, menm si yo pa twò itilize l. Sè rapò distans mobil la kouri a sou dire mouvman an (entèval tan an). Yo rele grandè sa a vitès eskalè mwayen.

                             V_{em}=\frac{d(A,B)}{(t_B-t_A)}

Ann sipoze gen yon moun ki kite kay li nan A(0,0) (premye 0 a pou tan, dezyèm 0 a pou  pozisyon), li fè 72.1 km pou l ale nan yon makèt B(40,60) pou l achte yon sachè glas pengwen, apre sa li retounen lakay li C(80,0).

20190606_084547

An nou gade kisa vitès nou sot etidye yo bay:

  • Vitès mwayèn:  V_m= \frac{0-0}{4800-0}=0 oubyen V_m=\frac{60-0}{40\times 60-0}+\frac{0-60}{80\times 60-40\times 60}=0
  • Vitès eskalè mwayen:  V_{em}=\frac{72.1}{40\times 60-0}+\frac{72.1}{80\times 60-40\times 60}=\frac{72.1+72.1}{80\times 60-0}

                                          V_{em}=\frac{144.2}{4800}=0.03 km\cdot s^{-1}

 

Nou sonje nou te di vitès mwayèn nan se yon pant (rapò yon entèval vètikal sou yon entèval orizontal nou ka di tou rapò varyasyon pozisyon sou varyasyon tan). Nan Matematik yo reprezante yon varyasyon ak lèt grèk majiskil dèlta a (Δ). Kidonk, varyasyon pozisyon an ak varyasyon tan an ka note konsa:

    \Delta x=x_f-x_i               \Delta t=t_f-t_i

Kounye a nou ka ekri vitès mwayèn nan konsa: V_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}

 

Nan ka nou sot wè la a, pant nou t ap kalkile a se pant yon dwat. Se te bagay fasil nèt, paske pant yon dwat pa janm chanje. Kèlkeswa kote ou pran yon Δy sou yon dwat, lè w fè rapò ant li menm ak Δx ki koresponn ak li a valè rapò sa a ap menm pou tout dwat la.

20190606_094337

Kòm nou konnen moun k ap fè syans se yon bann « ti bat kò » yo ye, y al fouye plis zo nan kalalou pou yo wè si trajè a pa ta yon liy dwat kijan sa ap ye.

Ann sipoze wout la pa yon liy dwat, sa vle di li ka gen kèk ba fon, kèk mòn ak kèk koub ladann. Kidonk, fonksyon ki reprezante trajektwa mobil la pa yon fonksyon afin.

20190606_100607

Nan ka sa yo, rezilta nou ap jwenn pou pant lan ap depann de entèval nou chwazi yo. Desen pi wo a montre n aklè si n ta gen yon mobil ki soti nan M_0 ki rive nan M, pant la  se \frac{MM_0}{x-x_0}.

Remak.- Pant sa a negatif paske, daprè konvansyon yo, nou konte soti agoch pou n ale adwat epi soti an ba pou monte. Nan ka Ang yo, gen yon konvansyon ki fè nou konte apati aks x pozitif yo ale nan sans kontrè egui yon mont. Nan egzanp moun ki te sot nan makèt nou te jwenn pi wo a, daprè desen an, nan yon premye tan moun nan soti nan pozisyon enferyè li ale nan pozisyon siperyè se sa fè \frac{60-0}{40\times 60-0}>0 epi nan yon dezyèm tan moun nan soti nan pozisyon siperyè li desann nan pozisyon enferyè, se sa k fè \frac{0-60}{80\times 60-40\times 60}<0.

Rapò \frac{M_0M}{x-x_0} pa bay enfòmasyon egzak sou trajè a ak valè vitès. Se pou reson sa a ki fè konnen valè vitès la genyen detanzantan an enpòtan. Remake chak fwa nou deplase sekant la nou monte l pi wo, M vin pi pre M_0 epi x vin pi pre x_0. Gen yon kote n ap rive M_0M p ap touche koub trajektwa a de fwa ankò, li vin tanjant ak koub la. Lè nou fè sa pou chak de pwen sou koub la, n ap rive kouvri tout koub e konnen pant tanjant la nan chak pwen oubyen detanzantan.

 

Pwen M nan gen pou kowòdone (x, y), pwen M_0 a gen pou kowòdone (x_0,y_0). Pant sekant la, ki se tanjant ang sekant la fè ak direksyon x la tou, egal ak:

                                     \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}

Pliske y se imaj x atravè yon fonksyon f, nou vin genyen:

                                             \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Remake pou n jwenn x se yon ti bagay tou piti piti nou ajoute sou x_0. Nou ka poze x=x_0+h. Kidonk,

                                      \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Si n pran limit ekspresyon sa a, sa vle di nou fè x vin prèske menm ak x_0 (h prèske 0), pant sekant la vin tounen pant tanjant la nan pwen x_0 a.

                                     \displaystyle m_t=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Sa a se ekspresyon yon derive nan Matematik.

Nan sinematik, pozisyon an se yon fonksyon ki depann de tan an. Donk, vitès lapoula la a, vin egal ak limit vitès mwayèn nan, kidonk derive pozisyon an:

                                      \displaystyle v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}

Sa bay kijan pozisyon an varye pa rapò ak tan an.

Menm sa ki fèt ak x la a, li ka fèt pou y ak pou z si tou si se nan lespas n ap travay.

Ann rele vektè pozisyon yon pwen r nan lespas. \vec{r}=\vec{r}(x,y,z). Kòm x,y,z depann de tan an, r tou vin depann de tan an. Sa ki fè vektè vitès lapoula la a vin:

                                  \vec{v}=\vec{r'}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=x'(t)\vec{i}+y'(t)\vec{j}+z'(t)\vec{k}

  • \vec{v} kolineyè ak tanjant la, kidonk li toujou tanjant ak trajektwa a.

Si n ap travay plan, li posib pou n pase de kowòdone katezyen yo (x,y) a kowòdone polè yo $latex(r,\theta). Lè sa a vektè pozisyon an vin: \vec{r}=r \vec{e}_r kote \vec{e}_r=\cos\theta \vec{i}+\sin\theta \vec{j} epi \vec{e}_\theta=-\sin\theta \vec{i}+\cos\theta \vec{j}=\frac{d\vec{e}_r}{d\theta}. Nan ka sa a, ni r ni \theta ap varye.

Kidonk, \vec{v}=\frac{d(r \,\vec{e}_r)}{dt}=\frac{dr}{dt} \vec{e}_r+r \frac{d\vec{e}_r}{dt}=r' \vec{e}_r+r \frac{d\vec{e}_r}{d\theta}\times \frac{d\theta}{dt}

Nou vin genyen: \vec{v}=r' \vec{e}_r+r\theta' \vec{e}_\theta

Nan lespas nou ka gen kowòdone silendrik (r,\theta,z) oubyen kowòdone sferik (r,\theta,\varphi). Nou gen pou n wè pi devan.